优质教案：数学组

数学归纳法

一、教学目标

1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．[来源:Zxxk.Com]

2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．

3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．[来源:Zxxk.Com]

二、教学重点与难点[来源:学§科§网]

重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本 步骤，运用它证明一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；

2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学过程

（一）创设情景

1、设置情景

   问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？

   问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？

   问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？

2、了解多米诺骨牌游戏。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：你认为条件（2）的作用是什么？[来源:学|科|网Z|X|X|K]

可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：

当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。

3、用多米诺骨牌原理解决数学问题。

思考：你认为证明 数列的通过公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

分析：

3、数学归纳法的原理

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列 步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n₀时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k( )时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n₀开始的所有正整数n都成立。

上述证 明方法叫做数学归纳法

注意：（1）这两步步骤缺一不可。

（2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。

（3）数学归 纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。

(二)例题讲解

例1.用数学归纳法证明1+3+5+…+(2n-1)=n²

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。
     （2）假设n=k(k∈N ,k>1)时等式成立,即：

        1+3+5+……+(2k-1)=k2，
      当n=k+1时：

        1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，

      所以当n=k+1时等式也成立。
      由（1）和（2）可知，对n∈N ，原等式都成立。

例2.运用数学归纳法证明：

解：当 时，左边=1，右边= ， 等式成立

（2） 时等式成立，即 ，那么 时，

  =（ ）+ = +

  = = ，所以 时等式也成立。

（三）课堂练习、思考

（四）小结 ：

     数学归纳法的原理和步骤。

数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法，主要有两个步骤一个结论：

（1）    证明当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确

（2）    假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论也正确

（3）    由（1），（2）得出结论

板书设计

（五）布置作业：

P50习题4——1   1,2,3