优质教案：数学组

《函数的单调性》说课稿

营山县第二中学  潘润民

各位领导、老师你们好！

我今天说课的内容是《函数的基本性质》第一课时——函数的单调性，现就教材、学情、教学目标、教法学法、教学程序、教学评价六个方面进行说明。恳请在座的专家、同仁批评、指正。

一、           教材分析

1.          本节课的内容

函数的单调性是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修一第一章第三节：“函数的基本性质”第一课时的内容，主要学习函数单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性。

2.          教材的地位和作用

本节课是在学生学习了函数概念的基础上进一步研究函数的一个重要性质。它既是在学生学过函数概念、图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用。研究函数单调性的过程体现了数学中“数形结合”和“从特殊到一般”的思想方法，对培养学生的创新意识，发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

函数单调性是函数的一个重要性质，在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合运用上都有广泛的应用。

3.          教学重点、难点

估计学生对本节课的认知困难主要有两个方面：

首先，用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难.

其次，学生推理论证的能力比较薄弱，比较大小的能力不够，掌握函数单调性的证明方法比较困难。

根据以上分析和新课程标准对单调性的教学要求，本节课的教学重点是形成增（减）函数的形式化定义；教学难点是形成增（减）函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表示；如何用定义证明函数的单调性。

为突出重点、突破难点，我设计了通过观察几个函数图象的升降，形成增（减）函数的直观认识，再通过对函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数的定义，在课堂中多给学生思考与交流的空间；对函数的复杂程度加以控制，同时引导学生建立判断函数单调性的基本步骤。

二、学情分析

     有利因素：学生已经学习了一次函数、二次函数的图象和基本性质以及集合等内容；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，情感上多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究。

不利因素：学生对这些知识的理解不透彻，知识整合和主动迁移的能力较弱，反应在解题中就是思维不缜密，过程不完整；数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强；少数学生的学习主动性还需要通过营造一定的学习氛围来加以带动。

三、教学目标分析

根据教材的特点、新课程标准对本节课的教学要求以及学生的认知水平，我从三个方面确定了以下教学目标：

1.知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图像和单调性定义判断证明函数单调性的方法。

2.过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力；通过对函数单调性的证明，提高学生证明推理的能力。

    3.情感态度价值观：通过知识的探究过程，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程。

确定教学目标的依据：确定以上教学目标，不仅仅是新课程标准的要求，同时也符合高一学生的认知特点。高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密，意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力。

四、教法学法的分析

1．教学方法

本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法。教学过程中，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。

2．学习方法

在教学过程中，设置问题情景让学生想办法解决，通过教师的启发点拨，学生的不断探索，把解决问题的核心归结到判断函数的单调性；然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决，整个教学过程中学生要主动参与、积极思考、认真讨论。因此，探索、交流、归纳、总结，自我感悟，成为本节课学生学习的主要方式。

3．教学手段

教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。

五、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我按照以下教学流程设计本堂课程：

从观察具体 函数图象引入

直观认识 增（减）函数

定量分析 增（减）函数

给出增（减） 函数的定义

 

 

 

由图象说出函 数的单调区间

利用定义证明 函数的单调性

练习、交流、 反馈、巩固

学生归纳小 结、教师评价

 

 

 

 

（一）   从观察具体函数图象引入课题

探究一：由图1.3-1，你能说出函数图象有什么特点？

师：引导学生观察函数图象的升降变化导入新课。

生：看图，并说出自己的看法。

设计意图：启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。

   （二）直观认识增（减）函数

    探究二：函数y=x的图象是如何变化的？

   

y

x

o

y=x

上升升

师：引导学生从左至右看y=x的图象如何变化。

生：观察y=x的图象从左至右的变化情况，并回答问题（图象是上升的）。

设计意图：让学生与以前的一次函数知识建构联系，引导学生体会函数y=x的图象是上升的，激发学生学习的热情。

探究三：你能描述一下函数 的图象的升降规律吗？

x

y

o

局部上升或下降

师：启发学生获取函数 的图象的升降特点，并将其与函数y=x的特点进行比较。

生：观察图象，发现 的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。比较函数y=x与 的图象，指出它们的不同特点。

教师归纳：函数图象的这种升降变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质-----函数的单调性。

设计意图：让学生体会同一函数在不同区间上的变化差异，学会发现问题并尝试思考解决问题。

（三）定量分析增（减）函数

探究四：如图，函数y=f(x)的图象在区间D内是上升的，如何用数学符号语言来描述这种上升呢？

师：图象在区间D内逐渐上升，当自变量x逐渐增大时，函数值y会如何变化？

生：思考并回答，随着x的增大，y也逐渐增大。

师：在区间D内给定 、 的值，当 < 时，有f( ) )吗？

生：思考并回答在区间D内给定 、 的值，当 < 时，有f( ) )。

师：在区间D内给定 、 的值，当 < 时，有f( ) )，那么f(x)的图象在区间D内逐渐上升吗？

生：相互讨论，表述各自的结论，并在教师的引导下尝试通过图象加以说明。

师：对学生得出的结论给予评价，得出 < 且f( ) )时，函数的图像不一定逐渐上升。

师：在区间D内任意 、 的值，当 < 时，有f( ) )，那么f(x)的图象在区间D内逐渐上升吗？

生：思考如何验证教师提出的问题，并将自己的想法与同学交流。

教师引导学生得出：函数y=f(x)的图象在区间I内是上升的，用数学符号语言来描述就是：对于区间D内任意 、 的值，当 < 时，都有f( ) )。即函数值随着自变量的增大而增大。具有这种性质的函数叫增函数。

设计意图：指导学生从定量分析到定性分析，从直观认识过渡到数学符号表述。这一环节是学生正确地、深入地理解概念的关键，教师应该启发学引导学生如何深入分析一个新的数学概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力。

  （四）给出增（减）函数的定义

探究五：如何定义增函数？

师：引导学生讨论、交流，说出各自的想法，并进行分析、评价，补充完善后给出增函数的定义。

一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间D上任意两个自变量的值 、 ，当 < 时，都有f( ) )，那么就说在f(x)这个区间上是单调增函数，D称为f(x)的单调增区间。

设计意图：从具体到一般引出增函数的定义，通过学生自己分析思考，发现概念，进一步加深对增函数概念的理解。

探究六：从函数图象上可以看到， 的图象在y轴左侧是下降的。类比增函数的定义，你能概括出什么结论？

生：通过观察、验证、讨论后表述所得结论。

师生共同得出减函数的定义。

设计意图：得出减函数的定义，并由此培养学生类比的能力，更进一步地加深了学生对增（减）函数概念的理解。

探究七：增（减）函数的定义中，关键词是什么？

生：通过分析讨论得出以下几个关键词语：

1、“定义域内某个区间”。这里包含两层意思：第一函数的单调性只能在定义域内讨论；第二函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的，否则无法讨论其单调性。（教师举例说明）

2、“任意两个”和“都有”。就是说这里的 、 在给定区间上具有任意性，不能用特殊值来判断函数的单调性（这点要特别强调），而且只要 < ，则f( ) )（或f( )>( )）恒成立。

设计意图：两个概念结合在一起来讨论，通过学生的积极思维，从抽象到具体，使学生对概念有了本质的认识，同时也锻炼了学生的逻辑思维能力。

  （五）由图象说出函数的单调区间

探究八：自学例1并解决习题1.3中第4题？            

  

习题1.3第4题：从服药那一刻起，心率关于时间的一个可能图象如图所示：

通过本例的解答达到以下目的：

1、会根据图象写单调区间；

2、明确区间的端点值不影响函数在这一区间上的单调性。

设计意图：强化学生应用数形结合的思想方法解题的意识，进一步加深对概念的理解，同时也是依托具体问题，对单调区间这一概念的再认识；并培养学生的自学能力。

（六）利用定义证明函数单调性

例2、证明函数f(x)=3x+2 在R上是增函数

师：怎样用定义来证明呢？

学生思索动笔，教师不断点拨启发，最后师生共同完成（教师认真规范地板书证明过程，并对学生起到示范作用，板书见课件）。

     探究九：通过对例2的学习，你能总结一下证明一个函数是某个区间上的增（减）函数的步骤吗？

     生：通过观察、讨论、交流后归纳出证明单调性的一般步骤。

     师：板书证明步骤，并强调变形的一般方法（板书内容见课件），引导学生记忆关键词。

     设计意图：让学生归纳证明单调性的一般步骤，使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性训练，从而提高学生的推理论证能力。

    （七）练习、交流、反馈、巩固

     1、教科书第32页练习第1、2、3题；

     2、画出函数 的图像，并写出单调区间：

     师：对学生的练习加以指正，并提出下面的思考。

     探究十：根据函数单调性的定义，能不能说 在定义域 上是单调减函数？

     学生通过讨论尝试解决问题，教师引导学生运用减函数的定义来加以验证，进一步体会“任意性”在判定函数单调性中的重要性。

     设计意图：让学生加深对概念的理解与应用，进一步认识到函数的单调性是离不开区间的。

    （八）学生归纳小结、教师评价

     课堂小结：

1.通过增（减）函数概念的形成过程，你学习到了什么？

2.增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间？

3.怎样用定义证明函数的单调性？

 师生共同对上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自己的意见。

 设计意图：体现“教师为主导，学生为主体”的思想；通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，能抓住重点进行课后复习。

课后作业：

1、习题1.3A组：1，2，3题。

2、证明函数 f（x）= 在 上是减函数。

3、证明函数 f（x）= 在 上是单调递增的。(选做)

 设计意图：在布置书面作业的同时，为了尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我设计了探究作业供学有余力的同学课后完成。

（九）板书设计（见课件）

六、教学评价

在本节课的教学设计过程中，我始终坚持让学生自己去发现知识，通过设计一系列的问题，使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵，深入理解概念。培养了学生积极思考、自主探索和合作交流的获取数学知识的重要方法，渗透了数形结合的数学思想。

     在知识的探究过程中，我注意培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的思维习惯，在讨论的过程中让学生形成合作探究、团队协作的能力。

     总之，在本节课中，围绕着教学的重点，针对教学目标，利用多媒体技术，展现知识的发生过程，使学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。注重了数学科学研究方法的掌握。以上是我对本节课教学设计的一些肤浅的认识，不到之处，望多指正！